Analisi Matematica II II compitino A

Ogni risposta positiva vale 3 punti. Ogni risposta negativa vale -1 punti. Per essere ammessi alle prove successive è necessario raggiungere un punteggio medio superiore di 18/30. Lo studente deve tenersi la parte di questo foglio sotto la riga ed il testo del quiz con le sue risposte. Questa parte del foglio va consegnata con le risposte al quiz scritte sull’altro lato assieme al nome (ogni risposta deve essere espressa mediante una lettera : A,B,C o D).

Tagliare su questa riga e consegnare la parte qui sopra

1 - Calcolare il seguente integrale doppio:

∫ ∫_{T} x dx dy

ove T = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ∈ [0, 1] , |y| ≤ x} .

A- □ 2/5 B- □ 2/3 C- □ 4/3 D- □ 5/3 E- □ nessuna di queste 2 - Trovare il potenziale, se esiste del campo vettoriale \overrightarrow{F}(x, y, z) = y^{2}z^{2}i + 2xyz^{2}j + 2xy^{2}zk A- □ non esiste B- □ φ(x, y, z) = x^{2}y^{2}z^{2} + 2 C- □ φ(x, y, z) = xy^{2}z + 3 D- □ φ(x, y, z) = x^{2}y^{2}z + 4 E- □ nessuna di queste 3 - Sia \overrightarrow{F}(x, y, z) = y^{2}z^{2}i + 2xyz^{2}j + 2xy^{2}zk; calcolare ∫_{Γ} \overrightarrow{F} · \overrightarrow{T} dove Γ è parametrizzata da

γ(t) = t^{2} (π − t) i + (7t^{2} · sin t cos t) j + tan t k, t ∈ [0, π]

A- □ 0 B- □ 1 C- □ 2 D- □ 1/2 E- □ nessuna di queste 4 - Si calcoli la cicuitazione del campo \overrightarrow{F}(x, y, z) = (x^{2} + e^{x} + y + 6y^{2}) i + (y^{3} + 12yx) j sulla

frontiera del segoente dominio

D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≥ 0, 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 2}

percorsa in senso antiorario.

A- □ 1 B- □ \sqrt{2}(π − 1) C- □ \frac{1}{2}π D- □ \frac{3}{2}π E- □ nessuna di queste 5 -Si consideri il sistema

\{ \begin{matrix}x′ = x − 2y \\ y′ = −x + 2y \end{matrix}

L’insieme delle soluzioni è dato da: A- □ \{[y (t) = \frac{1}{2}C_{1}, x (t) = C_{1} + C_{2}e^{3t}]\} B- □ \{[y (t) = \frac{1}{2}C_{1}e^{t} − C_{2}e^{3t}, x (t) = C_{1}e^{t} + C_{2}e^{3t}]\} C- □ \{[y (t) = \frac{1}{2}C_{1} − C_{2}e^{3t}, x (t) = C_{1} + C_{2}e^{3t}]\} D- □ \{[y (t) = \frac{1}{2}C_{1}, x (t) = C_{1} + C_{2}e^{2t}]\} E- □ nessuna di queste

COMP IT O IA − Nome : ; Cognome :
RISP OST E
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

Tagliare su questa riga e consegnare la parte qui sopra dopo avervi trascritto le risposte

6 -Si consideri il problema di Cauchy

\{ \begin{matrix}x′ = x − 2y \\ y′ = −x + 2y \\ x(0) = 0 \\ y(0) = 1 \end{matrix}

Quanto vale la soluzione, per t = 1 ? A- □ y (1) = \frac{2}{3}e^{3}, x (1) = \frac{4}{3}e^{3} B- □ y (1) = \frac{2}{3}e^{3} + \frac{1}{3}, x (1) = \frac{2}{3} − \frac{2}{3}e^{3} C- □ y (1) = \frac{2}{3}, x (1) = \frac{2}{3}e^{3} + \frac{1}{3} D- □ y (1) = \frac{2}{3} + e, x (1) = \frac{2}{3}e^{3} + \frac{1}{3} E- □ nessuna di queste 7- Si consideri la seguente serie trigonometrica: S(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{3n^{3}}. Quale delle seguenti è

vera?

A- □ La serie converge ad una funzione derivabile su ℝ e S′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{3n^{2}} cos nx B- □ La serie converge ad una funzione derivabile su ℝ e S′(x) = ∑_{n=1}^{∞} −\frac{1}{3n^{2}} sin nx C- □ La serie converge ad una funzione non derivabile su tutto ℝ. D- □ La serie, essendo a termini non positivi non converge su tutto ℝ. E- □ nessuna di queste 8-Si consideri il seguente campo: F (x, y, z) = xi + yj + zk ed il cono C avente come base la

circonferenza

C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} t.c. z = 0, x^{2} + y^{2} = 4}

e vertice in (1, 2, 5). Quanto vale il flusso ∫ ∫_{∂C} F · n dσ ? A- □ 16π B- □ \frac{40}{3}π^{2} C- □ 20π D- □ \frac{100}{3}π E- □ Nessuna di queste 9-10 (esercizio doppio) Trovare il valore minimo di f(x, y) = x^{2} + y^{2} sul dominio M =

{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y = 2} A- □ 5/6 B- □ 9/4 C- □ 7/4 D- □ 7/6 E- □ nessuna di queste