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\title{Test di \LaTeX \ del Laboratorio di Introduzione alla Matematica Computazionale}
\author{Andrea Palombo \\ \textbf{a.palombo@studenti.unipi.it}}
\date{Anno Accademico 2022-2023}
\begin{document}
\maketitle
\section{Secondo Teorema del Laboratorio}
\subsection{L'enunciato classico}
Scopo di queste note è dimostrare in modo formale un risultato noto in lette-
ratura come \emph{Secondo Teorema del Laboratorio}. Si tratta di un risultato che ha
un ruolo fondamentale nella trattazione analitica di alcuni problemi di Cauchy,
come il seguente:
\begin{equation}
\begin{cases}
    \frac{dv(x)}{dx}=\frac{2+\sinh(v(x))}{1+x^{2}} \\ v(0)=0
\end{cases}.
\end{equation}
La formulazione classica del risultato viene data in forma integrale, ed è la
seguente:
\begin{equation}
    \int_{0}^{1} [(1-t^{2})(1-mt^{2})]^{-\frac{1}{4}} \,dt=\int_{0}^{\pi/2} (1-m\sin^{2}\theta)^{-\frac{1}{4}} \,d\theta.
\end{equation}
La dimostrazione non è del tutto banale, e segue dalle considerazioni fatte nella
sezione 1.2. La dimostrazione completa viene lasciata come esercizio al lettore
volenteroso.
\subsection{Determinanti e prodotti}
Per rappresentare in modo efficace le soluzione dell’equazione (1), è necessario
osservare che alcune identità, come la seguente:
\begin{equation}
    ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^{\infty}(1+\frac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}}=\frac{1}{\Gamma(z)},
\end{equation} 
possono essere ricavate scrivendo la produttoria come limite di determinante di
matrici $n \times n$, per $n\to\infty$. Ad esempio, per l’identità sopra è utile dimostrare la seguente uguaglianza:
\begin{equation}
    \text{det}\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    1 & 4 & 9\\
    1 & 8 & 27
    \end{pmatrix}=12. \nonumber
\end{equation}
Applicando il logaritmo ad entrambi i termini dell’equazione (3) è possibile
trasformare il prodotto (qualora i termini fossero positivi) in una serie, come la
seguente 
\begin{equation}
    \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!(k+n)!}=I_{n}\text{(2)}, \nonumber
\end{equation}
che a sua volta implica banalmente (2).
e dunque riformulare il problema in modo diverso, e a volte più semplice da
trattare. Questa osservazione si può usare per dimostrare la seguente identità,
\begin{equation}
    \sum_{k=1}^{x}f(k)=C+\int_{0}^{x}f(t) \,dt+\frac{1}{2}f(x)+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x), \nonumber
\end{equation}
che a sua volta implica banalmente (2).
\end{document}
